1. Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей.
  2. При каком наибольшем n найдется n семизначных чисел, являющихся последовательными членами геометрической прогрессии.
  3. На числовой оси отмечены все точки с целыми координатами. Разрешается прыгать на 1 и 4 вправо и влево. Можно ли за 2010 таких прыжков попасть из т. 1 в т. 2, ни разу не попадая в точки с координатами, кратными 4?
  4. Решить в натуральных числах уравнение n!+5n+13= k2 .
  5. Найдите все натуральные числа, являющихся степенью двойки, такие, что после зачеркивания первой цифры их десятичной записи снова получается запись числа, являющегося степенью двойки.
  6. Найдите все пары пятизначных чисел x и y, такие, что число xy , полученное приписыванием десятичной записи числа y после десятичной записи числа x, делится на xy.
  7. Среди обыкновенных дробей с положительным знаменателем, расположенными между числами 96 35 и 97 36 найдите такую, знаменатель которой минимален.
  8. Решить в натуральных числах уравнение 1 m + 1 n = 1 25 , где m>n.
  9. Решить в целых числах m4 -2 n2 =1.
  10. Произведение нескольких различных простых чисел делится на на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?
  11. Натуральные числа m и n таковы, что и m3 +n и m+ n3 делится на m2 + n2 . Найдите m и n.
  12. При каком наименьшем натуральном n число 2009! не делится на nn ?
  13. У числа n ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найдите все n.
  14. Существуют ли хотя бы 3 десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
  15. Найдите все натуральные числа, которые делятс я на 42 и имеют ровно 42 различных делителя.
  16. Решить в натуральных числах 3n + 4m = 5k .
  17. Решить в целых числах 1+ 2k + 22k+1 = n2 .
  18. Найдите НОД всех чисел p2 -1, где p- простое число, большее 3, но меньшее 2010.
  19. Решить в целых числах mn2 = 105 n+m.
  20. Все обыкновенные правильные несократимые дроби, числители и знаменатели которых двузначные числа, упорядочили по возрастанию. Между какими двумя последовательно расположенными дробями находится число 5 8 ?